方程式


等式

  • 等号　[=]　A=Bなど2つの値が等しいことを示す記号。
  • 等式　等号を用いて=の左側と右側の値が等しいことを表した式
  • 左辺　等式の左側のこと
  • 右辺　等式の右側のこと
  • 両辺　左辺と右辺の両方を指すときの呼び方

等式の例　4+5=9　4+5=3+6　4x+3=23　3x+4=4x-3



方程式

  • 未知数　値が不明・不定な数。
    未知数には[x]が変数として使用されることが多い。
    2つ未知数があれば[x]、[y]、3つ未知数があれば[x][y][z]
  • 方程式　未知数の変数を含む等式
    変数に代入する値によって等式が成立したりしなかったりする式
    (変数に値が代入されてから等式が成立するか否かの判定が行われる)
    どの値を入れても等式が成立する式は恒等式というらしい。
  • 解　方程式が等式として成り立つ値
  • 方程式を解く=全ての解を求める。未知数全ての値を特定すること

4x+3=23　3x+4=4x-3　みたいにxなどの変数が入っている等式が方程式。xに値を代入して等式が成立するものを方程式と指すことが多い気がする。等式を成り立たせる値が解　4x+3=23という方程式では解は5ということになる。x=5と未知数の値を特定することを解を求めるとか方程式を解くという。



等式の性質

  • 等式の両辺に同じ数を加算しても等式は成り立つ
  • 等式の両辺に同じ数を減算しても等式は成り立つ
  • 等式の両辺に同じ数を乗算しても等式は成り立つ
  • 等式の両辺に同じ数で除算しても等式は成り立つ
  • 等式は左辺と右辺を入れ替えても等式は成り立つ

等式の性質は両辺に同じ数を足しても引いてもかけても割っても等式が成り立つし左辺と右辺を入れ替えても等式が成り立つということ。この等式の性質は方程式を解くために必要となる



等式の性質を利用して方程式を解く

方程式を解く→x=解の形にすること。等式そのままの形で解答。
xとyがあるなら　x=解、y=解　と全ての変数の値を出す。
等式のままで方程式を解くには両辺に同じことをする
項の前についている符号をみる。+、-は符号で見る
-x=□になる場合は両辺を-1で割る
引き算は足し算にすれば交換法則が使える。



+□　両辺を-□
x+9=15→x=解の形にしたい→+9を無くしたい→+9を0にする→+9を0にするには-9すればいい→A-C＝B-C　両辺から-9すれば等式のまま+9を0にできる。→X+9-9=15-9→x=6
8-x=3→交換法則で-x+8=3にできる→-x+8-8=3-8→-x=-5→両辺を-1でわる　x=5


-□　両辺を+□
-3+x=2→x=解の形→-3を0に。両辺を+3→-3+3+x=2+3→=x=5
交換法則でx-3で計算しても同じ。


□x　両辺を÷□or逆数を掛ける
6x=24→x=解の形にするにはxの係数が邪魔→係数を1にすると1が省略されてxになる→両辺に1/6を掛けるか6で割る→6x÷6=24÷6→x=4


x/□、□/x　両辺を×〇(分数は分母を１にする)
x/12=3→x=解の形にするには分母が邪魔→分母をはらうために両辺に×12(1/12の逆数をかける)→x/12×12＝3×12→x=36
8/x=2→分母のxが邪魔→分母のxを1にするのに両辺にxをかける→8/x×x＝2×x→8=2x→両辺を2で割る→x=4(A=BならB=Aでも成り立つので)




一次方程式


移項

移項を使って方程式を解く

移項は等式の性質を利用して方程式を解く過程の短縮
等号[=]の反対側に項の符号を変えて移すこと
左辺にある項の符号を変えて右辺へ移す
右辺にある項の符号を変えて左辺へ移す
x+3=5→x+3-3=5-3←邪魔なものの相殺作業を省略→そうすると左辺にある+3を-3に変えて右辺に移したようになる。x+3=5→x=5-3←移項


1次方程式
1次式＝0にできる方程式

1次方程式を解く
①移項
(x＝解の形にするのにxの項を全て左辺側に、定数項を全て右辺側に集める）
②同類項をまとめる
③両辺をxの係数で割る



()を含む

分配法則で展開

()は分配法則で展開して外す
2-3()など()の前の項の符号に注意する2-3ではなく+2と-3と考える
分配法則　a(b+c)＝ab+ac


展開と因数分解について

脳トレ用の算数数学アプリ難しいこと要求しすぎでは？としばしば思う。


係数が小数


両辺に小数が整数になる数値をかける

計算が面倒なだけで少数のまま計算しても良い。
小数を整数にするのには小数点第一位なら
両辺に×10、小数点第二位なら両辺に×100をする


係数が分数


方程式の分数は分母を払う

分数のままでも計算出来なくはない。
分母を払って分数を整数にする
分母を1にするために分母の最小公倍数を掛ける。


比例式


比例式

比例式は比が等しいことを指した式　比が等式になっている。
A:B＝C:D　外項の積と内項の積が等しいAD＝BC


等式なので当然両辺に同じ数をかけても割っても比は等しい


一次方程式の文章問題


私にとっては文章問題が難しいというかどう式にしていいのかよくわからないところがあるので個別に詳しくやりたい。なので少しだけ。わからないもの・・求めたいものをｘとするだけではわからんて(;´∀｀)


1次方程式の文章問題の解き方

求めたいものをxとする→方程式にする→方程式を解く


求めたいものをxとするのはわかるよ？　方程式になってたら解けるよ？　肝心の真ん中がわからないんだよね～・・・どう式にするのかがさ(´・ω・｀)方程式にするって等式の形にするということ　文章からxを元に等式を作るわけですよ　文章からというより文章のヒントとなる数値から等式になるものを見つけるんです。なにその無理ゲー。

算数の割合と速さがよく文章問題に出てくると思うのだけど塩水問題は割合だけ覚えてても解けないというか・・・速さも公式だけでは解けないというか・・・何と何が等しいのかを考えるのが難しい。ヒントの数値がxとどういう関係かも考える。ｘ+数値　なのか　ｘ-数値なのか　数値×ｘなのか。

食塩水は　食塩の重さ＝食塩水の重さ(水+塩)×濃度(%)　食塩水の重さ＝食塩の重さ÷濃度　濃度=食塩の重さ÷食塩水の重さ(水+塩)という3つの公式がある。これを元に式を作る。要点として水は濃度0％で食塩は濃度100％であるということと濃度は足せないこと水が減っても食塩はかわらないこと。100で割るときもある


問題としては濃度の異なる食塩水を混ぜたらどうなるかというのが多い。たまに比を使ってくるのもある２：1で混ぜたらどうなるかとか

例題）5％の食塩水60ｇに10％の食塩水を何ｇか混ぜ8%の食塩水を作った。10％の食塩水は何g混ぜたか？

わからないもの、求めたいものは10％の食塩水□gをxとする。次に　公式から食塩の重さの計算をすると　60ｇ×5%　xg×10%　(60g+xg)×8%で塩の重さが求まる式が出来るので　これが基本的な式の作り方で　2つを混ぜるということは　60g×5%　+　xg×10%　でこれを等式にするので　300+10x=8(60+x)　という方程式ができるあとは解くだけ　10x-8x=480-300　2x=180　x=90　10%の食塩水90ｇ　


例題）10%の食塩水200ｇに食塩を何ｇか混ぜ20%の食塩水を作った混ぜた食塩は何ｇか

食塩水の重さ×％+食塩水の重さ×％＝食塩水の重さ×％　という式にしたい　10％×200gと　食塩だけだと当然濃度は100％なので　100％×　食塩水は食塩＋水　食塩のｇはわからないのでｘ　水は0で　ｘ+0なのでｘ　100％×ｘ　二つを足すと20％の食塩水になったので20％×(200+x)　等式にすると　2000+100x=20(x+200)　100x-20x=4000-2000　80x=2000　x=25　25gの食塩を混ぜた　

求めたいものをxとする→食塩を求める計算式で等式を組む→方程式を解く(％になっているので100で割ったり掛けたりに注意する)


速さの公式が　速さ=道程÷時間　道程＝速さ×時間　時間＝　道程÷速さ　速さの単位換算に注意

例題）兄と弟は同じ場所から同時に出発し、一直線の道を反対方向へ進む。兄が分速85ｍ弟が分速72ｍで進むとき二人が1256ｍ離れるのは何分後か？

何分後がｘとすると　速さの公式で時間＝道程÷速さ　x=1256÷（85+72）x=8　8分後　文面から状況を整理して図にする。二人が同時に進むので分速85+72の速さで進む。

例題）弟が出発した4分後に兄が弟を追いかけた。兄は分速91ｍ弟は分速76ｍで進むとき兄が弟に追いつくのは何分何秒後か？

何分後がｘとする。時間＝道程÷速さとしたいが道程の情報がない。弟が出発した4分後に兄が出発している。兄は弟より4分遅く出発したのでー4分、弟は兄より4分早く出発したので+4分。兄と弟の道程は出発地点→追いついた時点で同じ距離をあるいたことになる。道のりは速さ×時間なので　弟の分速は76ｍ　76(x+4)が弟の道程　兄の道程が91x　道程が同じなので76(x+4)＝91x　91(x-4)=76xとしても同じ　兄から見るか弟から見るか兄から見たら弟は4分先に弟から見れば兄は4分おそい。304/15分となり20と4/15となり秒換算すると16秒　20分16秒後となる。

例題）１周700ｍの池があり兄と弟は同じ場所から同時に出発して同じ方向に池を回る。兄は分速90ｍ弟は分速75ｍ。兄が弟に追いつくのは何分何秒後か

兄の方が歩くのが早いので弟を追い抜いたあとにまた追いつくのは何分後かを問う問題。道のりが解っているので時間＝道程÷速さ　x=700÷(90-75)　で46分46秒

反対方向へまわると1周が二人の歩いた道程の和になり同方向に回ると1周が二人の歩いた道程の差になる。

例題）池の周りを兄と弟が反対方向に歩き始めると15分後にであう。また同じ方向に歩き始めると90分後に兄が弟を追い抜く。兄が分速70ｍのとき弟の分速は？

反対方向へ回るときは二人の道程の和が1周の道程。反対方向へ歩くときに両方とも15分歩いた。兄は分速70ｍなので　道程＝速さ×時間　70×15　弟は分速が分からないので　ｘ×15　1周の距離=1050+15x　同じ方向にまわるときは二人の歩いた道程の差が1周の距離になるので　70×90　ｘ×90　6300-90x＝1周の距離　1050+15x＝6300-90x　105x=5250　x=50　弟の分速は50ｍ　いや～難しいね式の作り方が！


例題）父は38歳子は12歳。父の年齢が子の年齢の2倍になるのは今から何年後？

何年後がｘ　父の何年か後＝子の何年か後×2　38+ｘ=2(12+x)　38+x=24+2ｘ　-x=-14　x=14　14年後

例題)父の年齢は現在子の年齢の5倍だが18年後には2倍になる。子の現在の年齢は？

子の年齢をｘとすると父の年齢は子の5倍なので5x歳　18年後は5x+18　この年齢はｘ18年後は　(x+18)父の2倍なので2(x+18)　5x+18=2(x+18)という等式が成り立つのであとは解くだけ答えは6歳が今の子の年齢

例題）現在父の年齢は40歳で二人の子の年齢は12歳と8歳　父の年齢が二人の子の年齢の和になるのは何年後？

何年後がｘ　40+x＝(12+x)+(8+x)　20年後

例題）長さ100ｍの電車が秒速20mで走っている　電車の末尾がトンネルに入ってから末尾がトンネルを抜けるまで50秒かかったトンネルの長さは？

トンネルの長さｘ-100とトンネルの長さ+100でトンネルの長さとトンネルを抜けるまでにかかった距離は同じみたい　20×50＝x　なので1000ｍがトンネルの長さ

同じ電車の頭がトンネルにさしかかってから末尾がトンネルを抜けるまで50秒かかったときのトンネルの長さは？

トンネルの長さ+100　ｘ+100　20×50＝ｘ+100　x=900　900ｍ　

例題）鉛筆5本と120円の消しゴムを6こ買ったら1520円になった　鉛筆1本の値段は？

鉛筆1本の値段がｘ　5x+120×6＝1520　5x＝1520-720　x=160　

例題)1個70円のキャンディーと1個90円のチョコレートを合わせて15個かったら1210円になった。キャンディーとチョコレートをそれぞれ何個買ったか？

つるかめ算　どっちか一方を解いてもう一方を差から求める　キャンディーをxとするとチョコレートは15-x　70x+90(15-x)=1210　70x+1350-90x＝1210　70x-90x＝1210-1350　-20x=-140　x=7　キャンディが7個　15-7＝8　チョコレートが8個　チョコレートを先に求めると　70(15-x)+90x=1210　1050-70x+90=1210　-70x+90x=1210-1050　20x=160　x=8　15-8＝7　となる